Główna i jedna z najstarszych ulic Przedmieścia Oławskiego prowadząca w kierunku Oławy i Małopolski. Odcinek zachodni, od murów miejskich do ul. Pułaskiego, funkcjonował jako główna droga osady tkaczy walońskich. Przy nim znajdowały się wzmiankowane od połowy XIII w. kościoły św. Maurycego oraz św. Łazarza wraz z szpitalem dla trędowatych. Odcinek wschodni od ul. Pułaskiego do ul. Krakowskiej został zabudowany do końca XVIII w. m.in. klasztorem Bonifratrów (1714-1734), Biały Folwark z pałacem biskupim (1735 r.) w rejonie pl. Zgody czy młyn przy Żabiej Ścieżce. Początkowo ulica nie miała jednej nazwy na całej swej długości i tak odcinek zachodni nazywano Wallgasse, zaś odcinek wschodni Weingasse. Dopiero po włączeniu Przedmieścia Oławskiego od Wrocławia (1808 r.) połączono obie drogi nadając im jedną nazwę Klosterstr. (ul. Klasztorna) wywodzącą się od klasztoru Bonifratrów. Wtedy też rozpoczęło się przeobrażanie zabudowy. Zaczęły powstawać kamienice czynszowe (najstarsza nr 73 wg proj. z 1866 r.) oraz liczne zakłady przemysłowe głównie wzdłuż brzegów Oławy. Były to przede wszystkim drukarnie perkalu nr pod nr 66, od 1834 r. odlewnia żelaza i fabryka maszyn; pod nr 72-74 założona w 1809 r. przędzalnia bawełny Augusta Carla Mildego (jego grób znajduje się w kościele św. Maurycego), późniejszy zakład oczyszczania miasta czy wytwórnia wódek Carla Schirdewana pod nr 102-104. Na większości podwórek, w oficynach znajdowały się małe zakłady m.in. fabryka majonezu pod nr 45, fabryka konserw Manna pod nr 43 czy zakład transportowy pod nr 97. W 1852 r. w miejscu gospody Pod Austriackim Cesarzem wzniesiono ewangelicki szpital \"Bethanien\". Kompleks składający się z 10 budynków wraz z gmachem głównym wzniesionym w latach 1913-16 wg proj. Theodora Grunerta i firmy budowlanej Simon&Halfpaap.

W czasie wojny zniszczona została większość zabudowy od Podwala do ul. Pułaskiego. Część budynków w rejonie pl. Wróblewskiego rozebrano kilka lat po wojnie. W latach 90. uzupełniono plombami luki w zabudowie między ul. Prądzyńskiego i ul. Krakowską. Po powodzi 1997 r. wyburzono kilka kamienic w końcowym biegu ulicy lecz także przeprowadzono gruntowny remont drogi (lata 1998-1999). Do 5 listopada 1945 r. ulica nosiła nazwę Klasztornej, wtedy zmieniono ją na ul. gen. Romualda Traugutta (1826-1864), dyktatora w powstaniu styczniowym.

W 1860 r. kupiec Heinrich Karlowsky zaproponował utworzenie w kwartale ulic Traugutta, Pułaskiego, Worcella i Krasińskiego dwóch krzyżujących się ulic. Jedna miała połączyć ul. Traugutta z ul. Worcella, zaś druga ul. Krasińskiego z ul. Pułaskiego. Wielkie trudności z wykupem parceli spowodowały upadek koncepcji poprowadzenia ulicy z północy na południe. Jednak budowa drogi z zachodu na wschód także nie mogła być w pełni zrealizowana. Najwięcej problemów sprawiał właściciel wielkiej olejarni znajdującej się wewnątrz kwartału, w miejscu dzisiejszego zespołu szkół. Efektem było równoczesne powstawanie dwóch ślepych ulic, jednej od ul. Krasińskiego i drugiej od ul. Pułaskiego kończących się płotem wspomnianej olejarni. Stan taki utrzymywał się do początku XX w. kiedy ostatecznie nastąpiło połączenie obu odcinków. Dopiero wtedy miasto oficjalnie przejęło ulicę pod warunkiem, że będzie wybrukowana czego podjął się przedsiębiorca browarniany Karl Scholz. Początkowo ulica podzielona na dwa odcinki nosiła dwie nazwy, takie same jak ulice od których odchodziły. Dopiero po połączeniu nadano jej nieoficjalną nazwę Karlowsky Str., a w 1911 r. ostatecznie Clausewitzstr. Pierwsza wywodziła się od nazwiska twórcy ulicy, druga upamiętniała Carla Philippa Gottfrieda von Clausewitza (1780-1831) pruskiego generała i teoretyka wojskowości, którego grób znajdował się najpierw na starym cmentarzu wojskowym przy ul. Krasińskiego, następnie na nowym cmentarzu wojskowym na rogu ul. Ślężnej i al. Wiśniowej, by ostatecznie trafić w 1972 do Berlina.
Podobnie jak okoliczne ulice także tutaj wystąpiły znaczne szkody podczas II wojny światowej. Zniszczone zostały kamienice po północnej stronie nr 2-18, 30-32, 36-38, a także nr 3-9, 13 oraz narożny budynek z ul. Pułaskiego po stronie południowej. Po wojnie uzupełniono zabudowę pod nr 2-14, 3-9 oraz nr 13 lecz równocześnie zburzono pod koniec lat 90. kamienicę nr 34. Obecną nazwę generała Józefa Haukego-Bosaka (1834-1871), dowódcy w powstaniu styczniowym i działacza emigracyjnego nadano po wojnie.