Dawniej funkcjonowały dwie nazwy tej ulicy: Niemiecka i Mennicza. Ta ostatnia, nawiązująca do działającej w latach 1290-1653 książęcej mennicy, przetrwała próbę czasów.
Michael Morys Twarowski

Główna arteria starego Cieszyna, prowadzi od Góry Zamkowej do Rynku, niegdyś najważniejszy trakt handlowy miasta. Pierwotnie zabudowana domami podcieniowymi połączonymi systemem tarasów i schodów, ucierpiała podczas pożaru w 1789 r. - zachowało się kilka kamienic podcieniowych z przełomu XVIII i XIX w. W XIX i XX w. zabudowana kamienicami mieszczańskimi w stylu historycznym i eklektycznym.
Głęboka to nazwa-bumerang. Jakby nie nazywano ulicy, to wracano do starej nazwy. A była to kiedyś ulica Arcyksiężniczki Stefanii, synowej cesarza Franciszka Józefa. W czasie I wojny światowej nazywana była Karl Franz Josef-Strasse. W 1920 roku wrócono do Głębokiej, ale czternaście lat później uznano, że będzie się nazywać ulicą Legionów. W czasie II wojny światowej niemieccy okupanci - o dziwo - wrócili do tradycyjnej nazwy (w wersji Tiefe Gasse). Komuniści nie darowali Głębokiej i nazwali ją Armii Czerwonej. W 1990 roku wrócono do historycznej nazwy. W 1881 zmieniono nazwę na Kronprinzessin Stephaniestrasse, po czym wywieszono tablice uliczne wyłącznie w języku niemieckim tak jak wcześniej postąpiono na rynku. Również w tym samym roku rada miejska uchwaliła zdjąć resztę dwujęzycznych tablic i zastąpić je wyłącznie niemieckojęzycznymi. W 1898 r. ulicę wybrukowano granitową kostką.