W 1860 r. kupiec Heinrich Karlowsky zaproponował utworzenie w kwartale ulic Traugutta, Pułaskiego, Worcella i Krasińskiego dwóch krzyżujących się ulic. Jedna miała połączyć ul. Traugutta z ul. Worcella, zaś druga ul. Krasińskiego z ul. Pułaskiego. Wielkie trudności z wykupem parceli spowodowały upadek koncepcji poprowadzenia ulicy z północy na południe. Jednak budowa drogi z zachodu na wschód także nie mogła być w pełni zrealizowana. Najwięcej problemów sprawiał właściciel wielkiej olejarni znajdującej się wewnątrz kwartału, w miejscu dzisiejszego zespołu szkół. Efektem było równoczesne powstawanie dwóch ślepych ulic, jednej od ul. Krasińskiego i drugiej od ul. Pułaskiego kończących się płotem wspomnianej olejarni. Stan taki utrzymywał się do początku XX w. kiedy ostatecznie nastąpiło połączenie obu odcinków. Dopiero wtedy miasto oficjalnie przejęło ulicę pod warunkiem, że będzie wybrukowana czego podjął się przedsiębiorca browarniany Karl Scholz. Początkowo ulica podzielona na dwa odcinki nosiła dwie nazwy, takie same jak ulice od których odchodziły. Dopiero po połączeniu nadano jej nieoficjalną nazwę Karlowsky Str., a w 1911 r. ostatecznie Clausewitzstr. Pierwsza wywodziła się od nazwiska twórcy ulicy, druga upamiętniała Carla Philippa Gottfrieda von Clausewitza (1780-1831) pruskiego generała i teoretyka wojskowości, którego grób znajdował się najpierw na starym cmentarzu wojskowym przy ul. Krasińskiego, następnie na nowym cmentarzu wojskowym na rogu ul. Ślężnej i al. Wiśniowej, by ostatecznie trafić w 1972 do Berlina.
Podobnie jak okoliczne ulice także tutaj wystąpiły znaczne szkody podczas II wojny światowej. Zniszczone zostały kamienice po północnej stronie nr 2-18, 30-32, 36-38, a także nr 3-9, 13 oraz narożny budynek z ul. Pułaskiego po stronie południowej. Po wojnie uzupełniono zabudowę pod nr 2-14, 3-9 oraz nr 13 lecz równocześnie zburzono pod koniec lat 90. kamienicę nr 34. Obecną nazwę generała Józefa Haukego-Bosaka (1834-1871), dowódcy w powstaniu styczniowym i działacza emigracyjnego nadano po wojnie.