Ulicę podobnie jak pobliski plac wytyczono w na początku XX w. Nadano jej nazwę poczodzącą od nazwiska rodziny Websky, właścicieli pałacyku na pl. Zgody. Zabudowa w wiekszości powstała w latach 1906-1910.
W 1945 r. zrównana z ziemią została cała wschodnia strona ulicy, a także kamienice na rogu z pl. Zgody. W latach 90. luki w zabudowie częściowo uzupełniono.

Do momentu wybudowania linii Kolei Górnośląskiej droga, w miejscu której później wytyczono obecną ulicę prowadziła do wsi Huby. Od tego czasu ulica kończy się ślepo, dochodząc do dawnego dworca towarowego. Niemiecką nazwę Brockauerstr. (ul. Brochowska) nadano jej w 1894 r. (wcześniej nazywała się Hubener Weg). W latach 1910-1912 na działce nr 12-14 wzniesiona zostala szkoła ludowa wg projektu Fritza Behrenda we współpracy z M. Bregiem, H. Frobösem i J. Nathansohnem (obecnie IV LO i 3 Gimnazjum).

W czasie Festung Breslau zniszczone zostały kamienice położone przy ul. Kościuszki i przy linii kolejowej, a niemieckie oddziały Brandkomandos podpaliły całą zachodnią stronę ulicy. Po wojnie nadano jej nazwę ul. Stacha Świstackiego - chłopem, bohatera insurekcji kościuszkowskiej.

Ulica nabrała miejskiego charakteru po 1807 r., co związane było z wyburzeniem fortyfikacji miejskich. Jednak już wcześniej w tym miejscu biegła jedna z głównych dróg Przedmieścia Świdnickiego. W 1823 r. do ulicy przyłączono odcinek między ul. Dworcową i ul. Pułaskiego zwany Małym Wygonem. Wtedy też oficjalnie wprowadzono nazwę Tauentzienstr. Patronem został pruski generał Friedrich Bogislav von Tauentzien (1710-1791). W 1863 r. do ulicę ponownie przedłużono, tym razem do połączenia z ul. Traugutta i ul. Krakowską. Nowy odcinek dla odróżnienia od starszego nazwano Neue Tauentzien Strasse. Posiadał ona także odrębną numerację. Stan taki trwał do pierwszych lat XX wieku. Wtedy zdecydowano się na połączenie całej ulicy pod jedną nazwą i z jedną numeracją.

W 1945 roku zdecydowana większość zabudowy uległa zniszczeniu. Trochę mniej zniszczeń zanotowano we wschodnim odcinku ulicy. Ulica jako jedna z pierwszych po wojnie otrzymała nowego patrona. 25 lipca 1945 r. został nim generał, bojownik o niepodległość Polski Andrzej Tadeusz Bonawentura Kościuszko (1746-1817). W kolejnych latach w mijscu zniszczonych w czasie wojny kamienic wzniesiono bloki.