Ulica nabrała miejskiego charakteru po 1807 r., co związane było z wyburzeniem fortyfikacji miejskich. Jednak już wcześniej w tym miejscu biegła jedna z głównych dróg Przedmieścia Świdnickiego. W 1823 r. do ulicy przyłączono odcinek między ul. Dworcową i ul. Pułaskiego zwany Małym Wygonem. Wtedy też oficjalnie wprowadzono nazwę Tauentzienstr. Patronem został pruski generał Friedrich Bogislav von Tauentzien (1710-1791). W 1863 r. do ulicę ponownie przedłużono, tym razem do połączenia z ul. Traugutta i ul. Krakowską. Nowy odcinek dla odróżnienia od starszego nazwano Neue Tauentzien Strasse. Posiadał ona także odrębną numerację. Stan taki trwał do pierwszych lat XX wieku. Wtedy zdecydowano się na połączenie całej ulicy pod jedną nazwą i z jedną numeracją.

W 1945 roku zdecydowana większość zabudowy uległa zniszczeniu. Trochę mniej zniszczeń zanotowano we wschodnim odcinku ulicy. Ulica jako jedna z pierwszych po wojnie otrzymała nowego patrona. 25 lipca 1945 r. został nim generał, bojownik o niepodległość Polski Andrzej Tadeusz Bonawentura Kościuszko (1746-1817). W kolejnych latach w mijscu zniszczonych w czasie wojny kamienic wzniesiono bloki.

Główna i jedna z najstarszych ulic Przedmieścia Oławskiego prowadząca w kierunku Oławy i Małopolski. Odcinek zachodni, od murów miejskich do ul. Pułaskiego, funkcjonował jako główna droga osady tkaczy walońskich. Przy nim znajdowały się wzmiankowane od połowy XIII w. kościoły św. Maurycego oraz św. Łazarza wraz z szpitalem dla trędowatych. Odcinek wschodni od ul. Pułaskiego do ul. Krakowskiej został zabudowany do końca XVIII w. m.in. klasztorem Bonifratrów (1714-1734), Biały Folwark z pałacem biskupim (1735 r.) w rejonie pl. Zgody czy młyn przy Żabiej Ścieżce. Początkowo ulica nie miała jednej nazwy na całej swej długości i tak odcinek zachodni nazywano Wallgasse, zaś odcinek wschodni Weingasse. Dopiero po włączeniu Przedmieścia Oławskiego od Wrocławia (1808 r.) połączono obie drogi nadając im jedną nazwę Klosterstr. (ul. Klasztorna) wywodzącą się od klasztoru Bonifratrów. Wtedy też rozpoczęło się przeobrażanie zabudowy. Zaczęły powstawać kamienice czynszowe (najstarsza nr 73 wg proj. z 1866 r.) oraz liczne zakłady przemysłowe głównie wzdłuż brzegów Oławy. Były to przede wszystkim drukarnie perkalu nr pod nr 66, od 1834 r. odlewnia żelaza i fabryka maszyn; pod nr 72-74 założona w 1809 r. przędzalnia bawełny Augusta Carla Mildego (jego grób znajduje się w kościele św. Maurycego), późniejszy zakład oczyszczania miasta czy wytwórnia wódek Carla Schirdewana pod nr 102-104. Na większości podwórek, w oficynach znajdowały się małe zakłady m.in. fabryka majonezu pod nr 45, fabryka konserw Manna pod nr 43 czy zakład transportowy pod nr 97. W 1852 r. w miejscu gospody Pod Austriackim Cesarzem wzniesiono ewangelicki szpital \"Bethanien\". Kompleks składający się z 10 budynków wraz z gmachem głównym wzniesionym w latach 1913-16 wg proj. Theodora Grunerta i firmy budowlanej Simon&Halfpaap.

W czasie wojny zniszczona została większość zabudowy od Podwala do ul. Pułaskiego. Część budynków w rejonie pl. Wróblewskiego rozebrano kilka lat po wojnie. W latach 90. uzupełniono plombami luki w zabudowie między ul. Prądzyńskiego i ul. Krakowską. Po powodzi 1997 r. wyburzono kilka kamienic w końcowym biegu ulicy lecz także przeprowadzono gruntowny remont drogi (lata 1998-1999). Do 5 listopada 1945 r. ulica nosiła nazwę Klasztornej, wtedy zmieniono ją na ul. gen. Romualda Traugutta (1826-1864), dyktatora w powstaniu styczniowym.